相見積について

[ビギナーさん]

例えば、
工務店Aで設計をしてもらい、仕様が固まった段階で工事価格等の概算が出ると思います。
この積算内容を自分で逐一チェックするのは時間的に難しいので、この仕様を工務店Bに持参して、相見積を出してもらうとします。
目的はずばり（言葉は悪いですが）工務店Aにボラれていないかどうかを（自己満足の範疇でも）確認することです。

＜知りたいこと＞
こういう行動は常識的に、法的に、何か問題があるでしょうか？
こういった場合、工務店Bに対しては費用が発生しますよね？それは幾らぐらいを見込んでおく必要があるでしょうか？
工務店Aが設計した物は工務店Aの著作物と看做されますか？工務店Bの見積もりの方が安かった場合、この設計をそのまま工務店Bに発注することは可能でしょうか？

勉強不足で常識知らずの者の質問ですが、お詳しい方にご教授頂きたいです。
よろしくお願いいたします。